Geodätisches Rechnen
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Unter Geodätischem Rechnen wird die Berechnung der Koordinaten von Punkten in einem kartesisches Koordinatensystem verstanden. Gegeben sind jeweils Ausgangspunkte mit ihren Koordinaten und Bestimmungsstücke zu unbekannten Neupunkten. Diese Bestimmungsstücke werden normalerweise von Messdaten, die in der Natur gewonnen wurden, abgeleitet.
Als Bezugssystem wird das jeweilige Koordinatensystem der Rechenebene (zum Beispiel Gauß-Krüger-Koordinatensystem oder UTM-Koordinatensystem) oder ein kartesisches räumliches Koordinatensystem verwendet. Die Koordinaten werden entweder als rechtwinkelige Koordinaten (x, y, z) oder als relative Polarkoordinaten in der Ebene (Entfernung und Richtungswinkel zwischen 2 Punkten) oder als relative Kugelkoordinaten im Raum (räumliche Entfernung, Richtung und Höhen- oder Zenitwinkel).
Für die Berechnungen werden vor allem die Formelsysteme der Trigonometrie und der analytischen Geometrie verwendet. Für geometrische Interpretationen können die geometrischen Örter herangezogen werden.
Inhaltsverzeichnis |
[Bearbeiten] Lagebestimmung
[Bearbeiten] Erste Hauptaufgabe
gegeben:
Zwei koordinatenmäßig bekannte Punkte A und B.
gesucht:
Der Richtungswinkel von A nach B sowie die Strecke zwischen den Punkten.
Lösung:
Auflösen eines rechtwinkligen Dreieckes.
Besonderheit:
Der Richtungswinkel zählt ausgehend von der Hochachse im Uhrzeigersinn. Dies weicht von der Zählweise in der Mathematik ab.
- Berechnung siehe Orthodrome.
[Bearbeiten] Zweite Hauptaufgabe
gegeben:
Der koordinatenmäßig bekannte Punkte A sowie Richtungswinkel und Strecke zum Punkt B.
gesucht:
Die Koordinatendifferenz zum Punkt B.
Lösung:
Auflösen eines rechtwinkligen Dreieckes.
Besonderheit:
Umkehraufgabe zur Ersten geodätischen Hauptaufgabe.
[Bearbeiten] Polares Anhängen
gegeben:
Der koordinatenmäßig bekannte Punkt A.
gemessen:
Die Horizontalrichtung zu einem Anschlusspunkt F und die Horizontalrichtung sowie die Strecke zum Neupunkt N.
gesucht:
Koordinaten des Neupuktes N.
Lösung:
Berechnen des Richtungswinkels von A nach F über die gemessenen Horizontalrichtungen und dem Richtungswinkel von A nach F.
Über den Richtungswinkels von A nach F und der gemessenen Strecke die Koordinatendifferenz berechnen (Zweite Hauptaufgabe).
Koordinaten von F aus Koordinaten von A und den Koordinatendifferenz berechnen.
[Bearbeiten] Geradenschnitt
gegeben:
Die koordinatenmäßig bekannten Punkte A und B der Geraden AB und C und D der Geraden CD.
gesucht:
Die Koordinaten des Neupunktes N.
Lösung:
Es können zwei Fälle auftreten:
a) Keine Lösung, da die Geraden parallel verlaufen.
b) Der Neupunkt N liegt im Schnittpunkt der beiden Geraden.
Sonderfälle:
Betrachtung von Parallelen zu einer gegebenden Geraden oder zu beiden gegeben Geraden.
[Bearbeiten] Lotfusspunkt
gegeben:
Die koordinatenmäßig bekannten Punkte A und B der Geraden AB und der Punkt C.
gesucht:
Die Koordinaten des Neupunktes N.
Lösung:
Der Neupunkt N liegt im Lotfusspunkt des Punktes C auf der Geraden AB. Die Winkel ANC und BNC sind rechte Winkel.
Sonderfall:
Der Punkt C liegt bereits auf der Geraden AB. In diesem Fall sinf Lotfusspunkt und Punkt C identisch.
[Bearbeiten] Bogenschlag oder Bogenschnitt
gegeben:
Die koordinatenmäßig bekannten Punkte A und B.
gemessen:
Die Strecke von A zum Neupunkt N sowie die Strecke von B zum Neupunkt N.
gesucht:
Die Koordinaten des Neupunktes N.
Lösung:
Durch die Festpunktkoordinaten A und B und die gemessenen Strecken sind zwei Kreise festgelegt. Der Schnitt dieser beiden Kreise liefert die gesuchte Position von N.
Es können drei Fälle auftreten:
a) Keine Lösung, das sich die Kreise nicht schneiden. Diese Konstellation liegt vor, wenn die Summe der gemessenen Strecken kleiner als der Abstand zwischen A und B ist oder von ein Kreis vollständig im anderen liegt. Dieser Lösungsfall kann in der Praxis nur bei groben Messfehler bzw. Irrtümer vorkommen.
b) Eine Lösung, wenn sich beide Kreise nur berühren. Die Summe oder Diffrenez der gemessenen Strecken entspricht exakt dem Abstand zwischen A und B. In der Praxis ist dieser Fall kaum realisierbar.
c) Zwei Lösungen, wenn sich beide Kreise an zwei Punkten schneiden. In der Regel ist dies der Normalfall. Die gesuchte, eindeutige Lösung, ist durch die Messanordnung gegeben. Die Nummerierung der Punkte A,B und N sollte immer so gewählt werden, dass die gesuchte Position von N rechts der Verbindung von A nach B liegt.
[Bearbeiten] Vorwärtsschnitt
gegeben:
Zwei koordinatenmäßig bekannte Punkte A und B.
gemessen:
Auf den Standpunkten A und B die Richtungen zum jeweils anderen Standpunkt sowie die Richtungen zum Neupunkt N.
gesucht:
Die Koordinaten von N.
Lösung:
Berechnen des Richtungswinkels von A nach B (Erste Hauptaufgabe).
Orientieren der Richtungen anhand des Richtungswinkels von A nach B.
Jede orientierte Richtung von A bzw. B nach N beschreibt eine Gerade.
Geradenschnitt der beiden Geraden (A,N) und (A,B).
[Bearbeiten] Rückwärtsschnitt
gegeben:
Drei koordinatenmäßige Festpunkte A, B und C.
gemessen:
Die Richtungen auf dem Neupunkt N zu den Festpunkten A, B und C.
gesucht:
Die Koordinaten von N.
Lösung:
Der Winkel zwischen der Richtung nach B und der Richtung nach A beschreibt zusammen mit der Entfernung zwischen A und B (Erste Hauptaufgabe) einen Kreis um N.
Ebenso beschreibt der Winkel zwischen der Richtung nach C und der Richtung nach B zusammen mit der Entfernung zwischen B und C (Erste Hauptaufgabe) einen Kreis um N.
Die gesuchte Position von N ergibt sich aus dem Schnitt der beiden Kreise (Bogenschnitt).
Bemerkung:
Es existieren eine Vielzahl von Rechenvorschriften zur Auflösung des Rückwärtschnittes. Die bekanntesten sind die Lösungen nach Cassini und nach Collins.
[Bearbeiten] Höhenbestimmung
[Bearbeiten] Turmhöhenbestimmung
[Bearbeiten] Dreidimensionale Bestimmung
[Bearbeiten] Polares Anhängen
[Bearbeiten] 3D-Bogenschlag
[Bearbeiten] 3D-Vorwärtsschnitt
gegeben:
Zwei koordinatenmäßig bekannte Punkte A und B.
gemessen:
Von den Standpunkten A und B die Horizontalrichtungen und Zenitwinkel zu B bzw. A. Für jeden Neupunkt Pi Horizontalrichtung und der Zenitwinkel.
gesucht:
Dreidimensionale Koordinaten für jeden Neupunkt.
Lösung:
Schnitt zweier windschiefer Raumgeraden.
[Bearbeiten] 3D-Rückwärtsschnitt
Bemerkung:
Der dreidimensionale Rückwärtschnitt, bei dem drei Raumwinkel zu drei Festpunkten gemessen sind tritt in der Photogrammetrie auf. Seine Lösung ist in geschlossener Form recht anspruchsvoll und mehrdeutig. Sie führt auf das Problem eines Schnittes von drei Torus.
