Generalisierte Koordinate
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Die generalisierten Koordinaten sind ein Begriff aus der theoretischen Physik im Zusammenhang mit dem Hamilton- und dem Lagrange-Formalismus. Sie dienen der Beschreibung verallgemeinerter Bewegungsgleichungen.
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[Bearbeiten] Ausnutzung von Symmetrien
Generalisierte Koordinaten sind insbesondere bei der Beschreibung von Bewegungen hilfreich, die eine besondere Symmetrie aufweisen oder/und Zwangsbedingungen unterliegen. Geeignete generalisierte Koordinaten können den Aufwand zur Problemlösung immens reduzieren. Als anschauliches Beispiel sei die Bewegung eines Punktes auf einer Kugeloberfläche als Zwangsbedingung genannt: hier eignen sich zur Beschreibung Polarkoordinaten (s.u.) wesentlich besser als kartesischen Koordinaten :
- Die Koordinate ρ ist konstant
- Die verbleibenden beiden Koordinaten und sind unabhängig voneinander
Das Polarkoordinatensystem erlaubt also eine elegantere Darstellung durch nur zwei voneinander unabhängige Koordinaten.
[Bearbeiten] Beispiele
[Bearbeiten] kartesische Koordinaten
So hat man im 3D-Raum zunächst einmal die normalen kartesischen Koordinaten:
mit Richtungsvektor:
[Bearbeiten] Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten
Durch Einführen eines Abstandes ρ zum Nullpunkt und eines Winkels zur x-Achse erhält man für z = 0 Polarkoordinaten
mit Richtungsvektor:
und für Zylinderkoordinaten
mit Richtungsvektor:
Führt man hingegen zusätzlich zu einen zweiten Winkel zur z-Achse ein, so erhält man Kugelkoordinaten mit Richtungsvektor:
entsprechen dabei den generalisierten Koordinaten und könnten stattdessen genausogut mit bezeichnet werden, wie es in Lehrbüchern zur theoretischen Mechanik gebräuchlich ist.
[Bearbeiten] Einheitsvektoren
Es kann manchmal hilfreich sein, Einheitsvektoren in generalisierten Koordinaten zu finden. Hier gilt allgemein:
Einheitsvektor:
Beispiel: Finde Einheitsvektor in Kugelkoordinaten in Richtung