Fläche zweiter Ordnung

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Als Flächen zweiter Ordnung des Raumes bezeichnet man Flächen, welche durch ein quadratisches Polynom beschrieben werden. Diese Punktmengen erfüllen Koordinatenform folgende Gleichung:

a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2 a 12 x y + 2 a 13 x z + 2 a 23 y z + a 1 x + a 2 y + a 3 z + β = 0

In Matrizenschreibweise:

${\vec x}^T \cdot A \cdot \vec x + {\vec a}^T \vec x + \beta = 0$

mit

$\vec x = (x,y,z), \vec a = (a_1,a_2,a_3), A = \begin{pmatrix} a_{11} ~ a_{12} ~ a_{13} \\ a_{21} ~ a_{22} ~ a_{23} \\ a_{31} ~ a_{32} ~ a_{33} \end{pmatrix} , a_{ij} = a_{ji}$

[Bearbeiten] Transformation auf Normalform:

Das singuläre Gebilde S einer Fläche zweiter Ordnung ist die Menge aller $\vec x$ , für die gilt:

$\vec x \cdot A = - \vec a$

Verschiebung des Koordinatensystems um einen Vektor $\vec x$ aus S führt zum Verschwinden der linearen Glieder in der Gleichung der Fläche zweiter Ordnung. Die Gleichung geht über in:

b₁₁x'² + b₂₂y'² + b₃₃z'² + 2b₁₂x'y' + 2b₁₃x'z' + 2b₂₃y'z' + b = 0

x', y', z' sind die Koordinaten des neuen Koordinatensystems.

Der Ursprung des neuen Koordinatensystems ist der Symmetriepunkt der Fläche 2. Ordnung.

Hauptachsentransformation in ein Koordinatensystem mit festem Ursprung und Koordinatenachsen in Richtung der Eigenvektoren bringt die Gleichung der Fläche zweiter Ordnung in die Normalform:

λ

₁x² +

λ

₁y² +

λ

₁z² + d = 0

[Bearbeiten] Klassifizierung der Flächen zweiter Ordnung

$λ$ ₁	$λ$ ₂	$λ$ ₃	d	Typ
>0	>0	>0	<0	Ellipsoid
>0	>0	>0	>0	nullteilige Fläche 2. Ordnung
>0	>0	>0	=0	entartetes Ellipsoid (Nullpunkt) Kegel mit nichtreellen Erzeugenden
>0	>0	<0	<0	einschaliges Hyperboloid
>0	>0	<0	>0	zweischaliges Hyperboloid
>0	>0	<0	=0	elliptischer Doppelkegel (Kegelachse: x₃)
>0	>0	=0	>0	Zylinder mit nichtreellen Erzeugenden
>0	>0	=0	<0	elliptischer Zylinder
>0	>0	=0	=0	Paar einander schneidender nichtreeller Ebenen
>0	<0	=0	$\ne$ 0	Hyperbolischer Zylinder
>0	<0	=0	=0	Paar sich schneidender Ebenen (beide zur z-Achse parallel)
>0	=0	=0	<0	2 parallele Ebenen (zur x-Achse parallel)
>0	=0	=0	>0	2 nichtreelle parallele Ebenen
>0	=0	=0	=0	Koordinatenebene (y,z-Ebene)