Filtrierung

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Dieser Artikel beschreibt das mathematische Konzept der Filtrierung. Für das mechanische Trennverfahren siehe Filtration.

Der Begriff Filtrierung bezeichnet in der Theorie der stochastischen Prozesse eine Familie von Sigma-Algebren, die Informationen über den Verlauf von Prozessen enthält.

[Bearbeiten] Definition

Sei $T$ eine beliebige geordnete Indexmenge (üblicherweise $\mathbb{R}_+$ oder $\mathbb{N}_0$ ). Eine Familie $(\mathcal{F}_t),t \in T$ von Sigma-Algebren heißt Filtrierung, falls für alle $s,t \in T, s<t: \mathcal{F}_s \subseteq \mathcal{F}_t$ gilt (d.h. Die Familie ist aufsteigend geordnet).

Eine alternative Definition fordert zusätzlich, dass die Familie der Sigma-Algebren rechtsseitig stetig ist, dass also gilt:

$\forall t \in T: \;\; \bigcap_{s>t}\mathcal{F}_s = \mathcal{F}_t$ .

Ein stochastischer Prozess $(X_t), t \in T$ heißt an die Filtrierung $(\mathcal{F}_t),t \in T$ angepasst (oder adaptiert), wenn $X t$ stets $\mathcal{F}_t$ -messbar ist für alle $t$ .

[Bearbeiten] Verwendung des Begriffes

Der Begriff der Filtrierung ist unerlässlich, um, ausgehend vom Begriff des stochastischen Prozesses, wichtige Begriffe wie Martingale oder Stoppzeiten einzuführen.

Die Mengen der Sigma-Algebra $\mathcal{F}_t$ geben zu jedem Zeitpunkt t an, wie viele Informationen zur Zeit bekannt sind. Für jede Menge $A \subseteq \Omega$ bedeutet $A \in \mathcal{F}_t$ übersetzt, dass zum Zeitpunkt t die Frage "ist $\omega \in A ?$ " eindeutig mit "ja" oder "nein" beantwortet werden kann (genaueres dazu siehe unter Sigma-Algebra). Dass die Filtrierung stets aufsteigend geordnet ist, bedeutet demnach, dass eine einmal erlangte Information nicht mehr verloren geht.

Ist ein Stochastischer Prozess $(X_t), t \in T$ an eine Filtrierung $(\mathcal{F}_t),t \in T$ adaptiert, bedeutet dies also, dass der Verlauf der Funktion $t \mapsto X_t(\omega)$ im Intervall [0,t] zum Zeitpunkt t (für beliebiges aber unbekanntes $\omega \in \Omega$ ) komplett bekannt ist.

[Bearbeiten] Beispiele

Natürliche Filtrierung: Ist $(X_t),t \in T$ ein stochastischer Prozess, so wird das durch $\mathcal{F}_t:=\sigma({X_s;s \le t})$ erzeugte System als natürliche Filtrierung des Prozesses bezeichnet ( $σ$ bezeichnet dabei den Sigma-Algebren-Operator, siehe dazu Sigma-Algebra). Es ist also zu jedem Zeitpunkt $t$ die vollständige Information über den vergangenen Verlauf des Prozesses bis einschließlich zum Zeitpunkt $t$ vorhanden.

Filtrierung der vollständigen Information: Ist der Prozess $(X_t),t \in T$ auf dem Grundlegenden Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ definiert, so wird durch $\mathcal{F}_t:=\mathcal{A}\;\forall t \in T$ eine Filtrierung definiert, die Filtrierung der Vollständigen Information. Hier ist also zu jedem Zeitpunkt $t$ die vollständige Information über den gesamten Verlauf des Prozesses zu jedem Zeitpunkt vorhanden.

[Bearbeiten] Spezielle Eigenschaften

Die zur Filtrierung $\mathcal{F}$ gehörende terminale Sigma-Algebra erfüllt $\mathcal{F}_\infty = \sigma(\bigcup_{t \in T} \mathcal{F}_t)$ .

Zu einem beliebigen Zeitpunkt $t \in \R$ definiert man als linken Grenzwert der Filtrierung die Sigma-Algebra $\mathcal{F}_{t-} := \sigma(\bigcup_{s<t} \mathcal{F}_s)$ .

Dabei gilt stets $\mathcal{F}_{t-} \subseteq \mathcal{F}_t$ . Stimmen Filtrierung und linker Grenzwert zu jedem Zeitpunkt überein, so heißt die Filtrierung linksseitig stetig. Eine stetige Filtrierung ist konsequenterweise eine solche, die links- und rechtsseitig stetig ist.