Diskussion:Cauchysche Integralformel
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[Bearbeiten] Ein paar Fragen
- Zitat aus der Einleitung: (Die Cauchysche Integralformel) besagt in ihrer schwächsten Form, dass die Werte einer holomorphen Funktion f im Inneren einer Kreisscheibe bereits durch ihre Werte auf dem Rand dieser Kreisscheibe bestimmt sind. Ist im Inneren einer Kreisscheibe nicht doppelt gemoppelt? Eine Kreisscheibe ist schließlich das Innere eines Kreises (zumindest sagt es so die Definition der Kreisscheibe im Artikel Kreis (Geometrie)).
- Was bedeutet der senkrechte Strich in f | U(z)?
- Trotz Erfüllung aller Bedingungen des Cauchyschen Integralsatzes (geschlossener Weg, etc.) hat das Integral
nicht den Wert 0 sondern den Wert 2πi. Allein das finde ich schon komisch. Zusätzlich frage ich mich, wie es gerade zu diesem Wert kommt.
Danke, --Abdull 17:09, 7. Jun 2006 (CEST)
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- Es gibt auch abgeschlossene Kreisscheiben, dann ist das Innere die Scheibe ohne ihren Rand.
- Einschränkung, d.h. diejenige Funktion
mit g(z) = f(z) für 
. - Die Funktion
ist nicht holomorph, da sie bei z einen Pol besitzt.
- --Gunther 17:14, 7. Jun 2006 (CEST)
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- Ah, so wie in Innerer Punkt...?
- ok
- auch ah, den Pol hatte ich übersehen. Danke. Zum Wert 2πi. Ich denke mal, dass sich das Integral analog lösen lässt wie der einfachere Fall (Achtung, hier ist z das Differenzial)
(mit ![\gamma(t) = e^{it} \quad t \in \left[0,2\pi\right]](../../../math/8/b/5/8b5eef698c00b09b32a08b0a02e7cd73.png)
, dem Einheitskreis. Wahrscheinlich kann man dann h(z) durch Integration durch Substitution lösen, oder so.
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- --Abdull 18:25, 7. Jun 2006 (CEST)
- 1. Ja, genau. 3. Ach ja, das hatte ich übersehen: Dass alle diese Integrale denselben Wert haben, folgt in der Tat aus dem Cauchyschen Integralsatz: Zeichne zwei ineinander enthaltene, nicht konzentrische Kreise und verbinde sie mit einer Strecke. Dann zerfällt der Ring in eine Art "C", und wenn man auf dessen Rand den Cauchyschen Integralsatz anwendet, dann sieht man, dass sich die Integrale über die beiden Streckenstücke wegheben, und es ergibt sich, dass die Integrale über die beiden Kreise denselben Wert haben. So in etwa, ohne Bild ist das schwer zu erklären, ich kümmere mich mal drum.--Gunther 18:36, 7. Jun 2006 (CEST)
- Toll, Bildchen! --Abdull 19:21, 7. Jun 2006 (CEST)
- 1. Ja, genau. 3. Ach ja, das hatte ich übersehen: Dass alle diese Integrale denselben Wert haben, folgt in der Tat aus dem Cauchyschen Integralsatz: Zeichne zwei ineinander enthaltene, nicht konzentrische Kreise und verbinde sie mit einer Strecke. Dann zerfällt der Ring in eine Art "C", und wenn man auf dessen Rand den Cauchyschen Integralsatz anwendet, dann sieht man, dass sich die Integrale über die beiden Streckenstücke wegheben, und es ergibt sich, dass die Integrale über die beiden Kreise denselben Wert haben. So in etwa, ohne Bild ist das schwer zu erklären, ich kümmere mich mal drum.--Gunther 18:36, 7. Jun 2006 (CEST)
- --Abdull 18:25, 7. Jun 2006 (CEST)
Wenn man im Bild über α + β + γ + δ integriert, umgeht man die Singularität, also ist das Integral null. Die Wege β und δ heben sich auf, also ist
| ∫ | + | ∫ | = 0 |
| α | γ |
, d.h. wenn man beide Kreise in positiver Richtung durchläuft, haben die zugehörigen Integrale denselben Wert. Aus Sicht eines der Kreise besagt das, dass der Wert des Integrals nicht davon abhängt, ob z der Mittelpunkt ist oder nicht. Klar?--Gunther 20:17, 7. Jun 2006 (CEST)
