Cauchy-Theorem

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Diesen Beitrag bitte aus Wikipedia herausnehmen. Dieses "Theorem" gilt zwar für Kugeln, aber weder lässt er sich in mathematischen Standardwerken finden, noch werden Quellen genannt oder ein Beweis gegeben. Stattdessen kann jeder für Rotationsellipsoide nachrechnen, dass die angegebene Beziehung in diesem Fall nicht gilt!

Das Cauchy-Theorem geht zurück auf den französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy und besagt, dass für jeden konvexen Körper der gemittelte Flächeninhalt seiner Parallelprojektionen in die Ebene stets ein Viertel seiner Oberfläche beträgt.

Anders formuliert: der Erwartungswert bei zufällig gewählter Projektionsrichtung für das Verhältnis zwischen dem Flächeninhalt der Projektion und dem Inhalt der Oberfläche des Ursprungskörpers beträgt $1 / 4$ .

[Bearbeiten] Beispiele

Für eine Kugel ist die Gültigkeit trivial zu zeigen: das Abbild einer Kugel vom Radius $r \,$ bei paralleler Projektion in die Ebene ist stets ein Kreis vom gleichen Radius. Damit ist der Flächeninhalt jedes Bildes $\pi r^2 \,$ und damit genau ein Viertel der Kugeloberfläche $4\pi r^2 \,$ .

Die folgenden beiden Beispiele sollen lediglich den Sachverhalt verdeutlichen (die Werte in der rechten Spalte schwanken jeweils um den Wert $1 / 4$ ):

Das Bild eines Würfels mit Kantenlänge $a$ ist je nach Projektionsrichtung unterschiedlich:

Projektionsrichtung	Bild	Flächeninhalt des Bildes	Verhältnis zur Würfeloberfläche $6a^2 \,$
parallel zu einer Kante	ein Quadrat mit Seitenlänge $a \,$	$a^2 \,$	$1:6 \,$
parallel zu einer Flächendiagonale	ein Rechteck mit Seitenlängen $a \,$ und $a\sqrt2$	$a^2\sqrt2$	$1:3\sqrt2\approx1:4{,}2$
parallel zu einer Raumdiagonale	ein regelmäßiges Sechseck mit Seitenlänge $\frac a3\sqrt6$	$a^2\sqrt3$	$1:2\sqrt3\approx1:3{,}5$
andere Richtungen	unregelmäßige (aber punktsymmetrische) Sechsecke	unterschiedlich	unterschiedlich

Ebenso ist das Bild eines regelmäßigen Tetraeders mit Kantenlänge $a$ je nach Projektionsrichtung unterschiedlich:

Projektionsrichtung	Bild	Flächeninhalt des Bildes	Verhältnis zur Tetraederoberfläche ${a^2} \sqrt3$
entlang einer Kante	ein gleichschenkeliges Dreieck mit Basis $a \,$ und Höhe $\frac a2\sqrt 2$	$\frac{a^2}{4}\sqrt2$	$1:2\sqrt 6\approx 1:4{,}90$
parallel zu einer Höhe	ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge $a \,$	$\frac{a^2}{4}\sqrt 3$	$1:4 \,$
normal zu zwei windschiefen Kanten	ein Quadrat mit Seitenlänge $\frac a2 \sqrt2$	$\frac{a^2}{2}$	$1:2\sqrt 3\approx1:3{,}46$
andere Richtungen	unregelmäßige Dreiecke oder Vierecke	unterschiedlich	unterschiedlich

[Bearbeiten] Verallgemeinerung

Im Fall eines konvexen Körpers im $n$ -dimensionalen euklidischen Raum ist der Faktor 4 durch $\frac{nv_n}{v_{n-1}}$ zu ersetzen, wenn $v n$ das Volumen der $n$ -dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.