Cassinische Kurve
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Die Cassinische Kurve (benannt nach Giovanni Domenico Cassini) ist der Ort aller Punkte in der Ebene, für die das Produkt ihrer Abstände von zwei gegebenen Punkten (c,0) und ( − c,0) gleich a2 ist. Ein Spezialfall der Cassinischen Kurve ist die Lemniskate.
Inhaltsverzeichnis |
[Bearbeiten] Gleichungen
Die Kurve lässt sich in kartesischen Koordinaten durch die Gleichung
beschreiben. In Polarkoordinaten lautet die Gleichung
[Bearbeiten] Form der Kurve
Die Form der Cassinischen Kurve lässt sich in 5 Fälle unterscheiden:
- 1.Fall
- Für ist die Kurve ein ellipsenförmiges Oval. Ihre Schnittpunkte mit der x-Achse liegen in diesem Fall bei , die Schnittpunkte mit der y-Achse bei .
- 2.Fall
- Für ergibt sie wieder ein ellipsenförmiges Oval. Die Schnittpunkte mit der x-Achse liegen nun bei . An den Schnittpunkten mit der y-Achse bei ist die Krümmung der Kurve gleich 0.
- 3.Fall
- Für ergibt sich ein eingedrücktes Oval mit den gleichen Achsenabschnitten wie im Fall . Neben den beiden y-Achsenabschnitten sind die weiteren Extrema der Kurve an den Punkten . Die vier Wendepunkte liegen bei mit und .
- 4.Fall
- Für a = c ergibt sich die Lemniskate.
- 5.Fall
- Für a < c ergeben sich zwei Ovale um die Punkte (c,0) und ( − c,0). Die Schnittpunkte mit der x-Achse liegen bei bzw. . Die Extrema sind an den Punkten .
[Bearbeiten] Weblinks
[Bearbeiten] Literatur
Bronstein et al.: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Frakfurt am Main 2005, 3-8171-2006-0