Bildmaß
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Ein Bildmaß ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie und dient dazu, Eigenschaften, die ein Maß in einem Maßraum Ω hat, auf einen anderen Raum Ω' zu übertragen. Hierbei werden mithilfe einer messbaren Funktion g die verschiedenen Werte des Maßes auf Ω in den Raum Ω' transportiert. Das so auf Ω' definierte Maß ist das Bildmaß.
Eine wichtige Rolle spielt das Bildmaß insbesondere bei der Definition der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable.
[Bearbeiten] Definition
(Ω,Σ,μ) sei ein Maßraum und 
eine Σ-Σ'-messbare Funktion in einen Messraum (Ω',Σ'). Dann ist
ein Maß auf (Ω',Σ'), das Bildmaß von μ, g. 
bezeichnet dabei das Urbild von 
.
[Bearbeiten] Anwendungsbeispiel
Für eine messbare Funktion 
(wobei 
die erweiterten reellen Zahlen bezeichnet) gilt der folgende Transformationssatz für messbare Mengen 
:
,
wenn mindestens eines der beiden obigen Integrale definiert ist.[1]
[Bearbeiten] Quellen
- ↑ Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972. ISBN 0-12-065201-3. Theorem 1.6.12.
