Besselsche Differentialgleichung

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Du hast neue Nachrichten (Unterschied zur vorletzten Version).

Die Besselsche Differentialgleichung

$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - n^2)y = 0 \,$ .

ist eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung. Dabei ist $n$ meistens eine ganze Zahl.

Sie ist benannt nach Friedrich Wilhelm Bessel.

[Bearbeiten] Bessel-Funktionen

Die Besselfunktionen J₀, J₁

Die Besselfunktionen Y₀, Y₁

Die Lösungen der Besselschen Differentialgleichung heißen Bessel-Funktionen. Sie spielen eine wichtige Rolle in der Physik, da die Besselsche Differentialgleichung den radialen Anteil der Laplace-Gleichung bei zylindrischer Symmetrie darstellt. Man trifft u.a. bei der Untersuchung von Eigenschwingungen einer kreisförmigen Membran oder Orgelpfeife, Ausbreitung von Wasserwellen in runden Behältern, Wärmeleitung in Stäben, der Analyse des Frequenzspektrums von frequenzmodulierten Signalen, stationären Zuständen von Kastenpotentialen und der Intensität von Lichtbeugung an kreisförmigen Löchern auf die Besselfunktionen. Man zählt die Bessel-Funktionen wegen ihrer vielfältigen Anwendungen in der mathematischen Physik zu den speziellen Funktionen.

Die Besselsche Differentialgleichung besitzt zwei linear unabhängige Lösungen. Für nicht-ganzzahlige $n$ sind $J n$ und $J - n$ linear unabhängige Lösungen. Für ganzzahlige $n$ ist neben der Besselfunktion erster Gattung $J n$ (auch einfach Besselfunktion genannt) die Besselfunktion zweiter Gattung $Y n$ (auch Weber-Funktion oder Neumann-Funktion genannt) die zweite, linear unabhängige Lösung:

Die Darstellungen der Bessel-Funktionen lauten

$J_n(x) = \sum_{r=0}^\infty \frac{(-1)^r (\frac{x}{2})^{2r+n}}{\Gamma(n+r+1)r!} \,$ und

$Y_n(x)=\lim_{p\rightarrow n} \frac{J_p(x)\cos p \pi - J_{-p}(x)}{\sin p \pi} \,$ .

Die Besselfunktion 2. Gattung wird am Ursprung singulär, weshalb eine einfache Reihendarstellung nicht möglich ist.

Für die Bessel-Funktionen gelten die Rekursionsbeziehungen

$\frac{n}{x} J_n = \frac{1}{2}(J_{n-1} + J_{n+1}) \,$ ,

$J'_n = \frac{1}{2}(J_{n-1} - J_{n+1}) \,$ .

Diese Beziehungen gelten auch für die Besselfunktion 2. Gattung.

Für ganzzahlige n gilt weiterhin:

$J_{-n}(x) = (-1)^n J_n(x)\,$

[Bearbeiten] Modifizierte Besselfunktionen

Tritt eine Besselfunktion nur mit rein imaginären Zahlen auf, so spricht man von modifizierten Besselfunktionen.

$I_n(x)= i^{-n} J_n(ix)=\sum_{r=0}^\infty \frac{(\frac{x}{2})^{2r+n}}{\Gamma(r+n+1)r!} \,$

ist die modifizierte Besselfunktion $n$ -ter Ordnung. Sie löst die Differentialgleichung

$x^2 y'' + x y' - (x^2 + n^2) y = 0 \,$ .

Eine zweite Lösung für diese Differentialgleichung ist

$K_n(x)=\lim_{p\rightarrow n}\frac{\pi}{2}\frac{I_{-p}(x)-I_p(x)}{\sin (p x)} \,$ ,

die auch als MacDonaldsche Funktion bekannt ist.

[Bearbeiten] Weblinks

Bessel Differential Equation - engl.

Von „http://de.wikipedia.org../../../b/e/s/Besselsche_Differentialgleichung_61e5.html“

Kategorie: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Besselsche Differentialgleichung

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

[Bearbeiten] Bessel-Funktionen

[Bearbeiten] Modifizierte Besselfunktionen

[Bearbeiten] Weblinks

Views

Navigation

Mitmachen

Suche

Andere Sprachen