Basiswechsel (Vektorraum)

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Der Basiswechsel innerhalb eines Vektorraums ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Man bezeichnet damit den Übergang zwischen zwei verschiedenen Basen des endlichdimensionalen Vektorraums. Dadurch ändern sich im Allgemeinen die Koordinaten der Vektoren. Der Basiswechsel kann durch eine Basiswechselmatrix beschrieben werden, mit der sich auch die Koordinaten bzgl. der neuen Basis ausrechnen lassen.

Der Basiswechsel ist ein Isomorphismus und somit kann jeder Basisvektor $b i'$ der neuen Basis $B'$ als Linearkombination von Basisvektoren $b i$ der ursprünglichen Basis $B$ dargestellt werden:

$\vec b_i' = a_{1i} \vec b_1 + a_{2i} \vec b_2 + \dots + a_{ni} \vec b_n = \begin{pmatrix}a_{1i} \dots a_{ni}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}\vec b_1 \\ \vdots \\ \vec b_n\end{pmatrix} = {\vec a_i}^T \cdot \begin{pmatrix}\vec b_1 \\ \vdots \\ \vec b_n\end{pmatrix}$

Die Basiswechselmatrix, auch Transformationsmatrix zum Basiswechsel von $B$ nach $B'$ genannt, erhält man mit den obigen Vektoren $a i$ als Spaltenvektoren. Man bezeichnet sie mit $T_{B'}^B$ :

$T_{B'}^B = \begin{pmatrix}\vec a_{1} \dots \vec a_{n}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix}$

Diese Matrix ist quadratisch und invertierbar. Die entsprechende inverse Matrix ist $T_B^{B'}$ und beschreibt den Basiswechsel von $B'$ zurück nach $B$ . Die Transformationsmatrix $T_{B'}^B$ ist identisch mit der Matrix $M_B^{B'}(id)$ der Identitätsabbildung bei Verwendung unterschiedlicher Basen.

Die Berechnung der Koordinaten $\vec v$ bzgl. der Basis $B$ eines Vektors erfolgt durch Multiplikation der Koordinaten $\vec v'$ bzgl. $B'$ mit der Transformationsmatrix