Balkenwaage

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Eine Balkenwaage

Eine Balkenwaage ist eine Wiegevorrichtung, die aus einem waagerechten Balken besteht, der beweglich an einer waagerechten Achse gelagert ist. An jedem Balkenende befindet sich eine Waagschale.

Die Genauigkeit einer Balkenwaage hängt einerseits von der Genauigkeit der verwendeten Gewichte und andererseits von den Konstruktionsparametern der Waage (Balkenlänge, Lage des Schwerpunktes) ab.

[Bearbeiten] Konstruktion

Wenn man einen einfachen Balken als Waage verwenden würde, so hätte das folgende Auswirkungen:

Im Falle des Gleichgewichts (beide Waagschalen sind mit dem gleichem Gewicht befüllt) herrscht in jeder beliebigen Lage des Balkens ein Gleichgewichtszustand, da die beiden Drehmomente immer gleich sind (indifferentes Gleichgewicht).
Im Falle von Ungleichgewicht wird der Balken solange gedreht, dass die schwerere Waagschale den tiefsten Punkt erreicht (stabiles Gleichgewicht).

Damit ist es prinzipiell möglich, einen Wiegevorgang auszuführen, aber die Waage ist so empfindlich, dass sie praktisch nicht verwendbar wäre. Daher verlegt man den Schwerpunkt des Waagebalkens so, dass er sich etwas unterhalb der Drehachse befindet. Das kann erfolgen, indem man den Balken mit einem zusätzlichen, senkrechten Zeiger versieht (der dann auch gleich zum Ablesen der Gewichtsdifferenz auf einer Skala verwendet werden kann) oder indem man den Waagbalken im Drehpunkt leicht knickt.

Durch die Auslenkung des Schwerpunktes im Fall von Ungleichgewicht entsteht ein zusätzliches Drehmoment, welches verhindert, dass die schwerere Schale den Balken in eine senkrechte Stellung drehen kann.

Die Empfindlichkeit der Balkenwaage ist abhängig von:

der Länge des Waagebalkens: Je länger, desto empfindlicher.
dem Drehmoment des Schwerpunkts: Je kleiner, das heißt, je leichter der Waagebalken und je näher der Schwerpunkt beim Drehpunkt ist, desto empfindlicher ist die Waage.

[Bearbeiten] Wiegevorgang

Zum Wiegen wird der zu wiegende Gegenstand in eine der Schalen gelegt. Nun werden in beiden Schalen definierte Gewichte abgelegt. Es werden so lange Gewichte zugelegt oder entfernt, bis der Balken im Gleichgewicht ist.

Das Gewicht des zu wiegenden Gegenstandes wird durch Addition bzw. Subtraktion der verwendeten Gewichte ermittelt. Dabei werden die Gewichte in der anderen Schale des zu wiegenden Gegenstands addiert und davon die Gewichte in der gleichen Schale subtrahiert.

Um die Anzahl der benötigten Gewichte so gering wie möglich zu halten, verwendet man Gewichtstücke aus der folgenden Tabelle.

[Bearbeiten] Tabelle Messgewichte

Anzahl der Gewichte	Gewichte messbar bis	Benötigte Gewichte [g]	Benötigte Gewichte [kg]
1	1 g	1	0,001
2	4 g	3	0,003
3	13 g	9	0,009
4	40 g	27	0,027
5	121 g	81	0,081
6	364 g	243	0,243
7	1,093 kg	729	0,729
8	3,280 kg	2 187	2,187
9	9,841 kg	6 561	6,561
10	29,524 kg	19 683	19,683
11	88,573 kg	59 049	59,049
12	265,720 kg	177 147	177,147
13	797,161 kg	531 441	531,441
14	2,391 t	1 594 323	1 594,323
15	7,174 t	4 782 969	4 782,969
16	21,523 t	14 348 907	14 348,907
17	64,570 t	43 046 721	43 046,721
18	193,710 t	129 140 163	129 140,163
19	581,130 t	387 420 489	387 420,489
20	1743,392 t	1 162 261 467	1 162 261,467
21	5230,176 t	3 486 784 401	3 486 784,401
22	15690,529 t	10 460 353 203	10 460 353,203
23	47071,589 t	31 381 059 609	31 381 059,609
24	141214,768 t	94 143 178 827	94 143 178,827
25	423644,304 t	282 429 536 481	282 429 536,481

Beispiel: Um ein 1kg-Gewicht auf 1g genau abwiegen zu können braucht man folgende 7 Messgewichte: 1g, 3g, 9g, 27g, 81g, 243g, 729g

Theoretisch könnte man auf diese Art mit nur 25 Messgewichten Wiegevorgänge bis über 420.000 Tonnen auf 1g genau durchführen.

[Bearbeiten] Entstehung der Tabelle

Die Überlegung ein Messgewicht zu erhalten ist folgende: Man nehme alle bisherigen Gewichte zusammen. Um nun auf das nächste Gramm zu gelangen könnte man diese vorhandenen Gewichte von einem größeren Gewicht abziehen. Dieses nächstgrößere Gewicht muss um die Summe aller bisherigen Gewichte und ein zusätzliches Gramm schwerer sein.

Bei 1g beginnend folgt somit die Verdoppelung auf 2g plus ein zusätzliches Gramm --> ergibt 3g.

Das nächste Gewicht ist die Summe aller bisherigen Gewichte, also 1g + 3g = 4g, verdoppelt auf 8g plus eins macht 9g.

usw.

Mathematisch gesehen ergibt sich so der Summenausdruck für ein beliebiges Gewicht n an der Position k:

$n_k=1+2\sum_{i=1}^{k-1} n_i$

[Bearbeiten] Beispiele Wiegevorgang

Beispiel 1:

Es soll ein Gewicht von 47g gemessen werden. Dazu werden auf die leere Waagschale die Gewichte zu 16g und 32g gelegt. Auf die andere Waagschale das unbekannte Gewicht und das Messgewicht zu 1g. Die Waage befindet sich nun im Gleichgewicht.

16g + 32g = 1g + Unbekanntes Gewicht

Daraus folgt:

Unbekanntes Gewicht = 16g + 32g - 1g

Beispiel 2:

Sie legen wie folgt Gewichte auf die Waage um sie ins Gleichgewicht zu bringen:

81g + 27g = 9g + 3g + Unbekanntes Gewicht

Daraus folgt:

Unbekanntes Gewicht = 81g + 27g - 9g - 3g

Unbekanntes Gewicht = 96g

[Bearbeiten] Eine weitere Möglichkeit

Angenommen die vorhandenen Gewichte sind zu grob eingeteilt, um Massen wie zum Beispiel 5.125g wiegen zu können. Daher die Frage: Gibt es eigentlich einen Zusammenhang zwischen dem Verhältnis der Massen auf den Schalen und dem Winkel des Balkens?

Wird auf eine der Schalen immer das Doppelte der Masse wie auf der anderen Schale gelegt, bleibt der Winkel gleich. Dieser Typ Waage kann also nur das Masseverhältnis bestimmen. Mit den Gewichten wird dann versucht, ein Masseverhältnis von nahezu 1.0 herzustellen.

Um nun herauszubekommen welchem Winkel welches Masseverhältnis entspricht, wird einfach ein Gleichgewicht der angreifenden Drehmomente aufgestellt:

$\begin{matrix} m_1 g \;\; l \;\cos(\omega+\beta) &=& m_2 g \;\; l \; \cos(\omega-\beta) \\ m_1 \cos\omega \cos\beta - m_1 \sin\omega \sin\beta &=& m_2 \cos\omega \cos\beta + m_2 \sin\omega \sin\beta \\ m_1 - m_1 \tan\omega \tan\beta &=& m_2 + m_2 \tan\omega \tan\beta \\ \frac{m_1}{m_2} &=& \frac{1 + \tan\omega \tan\beta}{1 - \tan\omega \tan\beta} \end{matrix}$

Der Winkel $2β$ ist der Winkel, um den der ehemals gerade Balken in der Mitte geknickt wurde, um den Schwerpunkt zu versetzen. Dieser Winkel ist abhängig von der Konstruktion der Waage.
Der Winkel $ω$ ist der Winkel, um den der Balken auf Grund der unterschiedlichen Massen verdreht ist, also die Abweichung von der waagerechten Lage.

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Kategorie: Waage