Centrální limitní věta
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Centrální limitní věta v teorii pravděpodobnosti označuje tvrzení, podle něhož (za určitých podmínek diskutovaných níže) výběrový průměr po vhodné normalizaci blíží k normálnímu rozdělení. O náhodné veličině s uvedeným chováním říkáme, že má asymptoticky normální rozdělení.
Centrální limitní větu lze vyjádřit různými způsoby.
K důkazu se používají Čebyševovy nerovnosti.
Obsah |
[editovat] Moivreova-Laplaceova věta
Nejjednodušším vyjádřením centrální limitní věty je Moivreova-Laplaceova věta. Podle této věty platí, že pokud součtem n nezávislých náhodných veličin Xi s alternativním rozdělením (s parametrem π) vytvoříme veličinu X, která má binomické rozdělení s parametry n a π, pak pro normovanou náhodnou veličinu
platí vztah
pro , kde Φ(u) je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení .
Podle Moivreovy-Laplaceovy věty tedy při velkém počtu nezávislých pokusů konverguje binomické rozdělení k rozdělení normálnímu.
[editovat] Lévyho-Lindebergova věta
Moivreovu-Laplaceovu větu lze zobecnit na větu Lévyho-Lindebergovu. Pokud je podle této věty náhodná veličina X součtem n vzájemně nezávislých náhodných veličin X1,X2,...,Xn se shodným rozdělením libovolného typu, s konečnou střední hodnotou a konečným rozptylem D(Xi) = σ2, pak pro normovanou náhodnou veličinu
platí opět vztah
pro , kde Φ(u) je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení . Veličina U má tedy asymptoticky normální rozdělení.
Za obdobných podmínek má asymptoticky normální rozdělení také náhodná veličina .
[editovat] Ljapunovova věta
Nejobecnějším vyjádřením centrální limitní věty je věta Ljapunovova, která říká, že rozdělení součtu (i průměru) vzájemně nezávislých veličin Xi konverguje k [[normální rozdělení|normálnímu rozdělení] i tehdy, když veličiny Xi nemají stejný zákon rozdělení pravděpodobnosti.
Ljapunovova věta tedy říká, že pokud je náhodná veličina X součtem vzájemně nezávislých veličin Xi, které mají konečné střední hodnoty a konečné rozptyly D(Xi), pak pro normovanou náhodnou veličinu
platí vztah
pro , kde Φ(u) je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení .
Je-li navíc splněna tzv. Ljapunovova podmínka
[editovat] Podívejte se také na
Tento matematický článek je pahýl. Můžete pomoci Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. |