Problemes de Hilbert

De Viquipèdia

Els problemes de Hilbert són un conjunt de 23 problemes matemàtics, originalment sense resoldre, que el matemàtic alemany David Hilbert presentà al Segon Congrés Internacional de Matemàtics, celebrat a París l'agost de 1900. Alguns dels problemes presentats són específics, com la hipòtesi de Riemann, mentre que d'altres són molt més genèrics i vagues i es poden considerar més aviat línies d'investigació que veritables problemes. L'objectiu de Hilbert era oferir unes línies de treball per a la recerca en matemàtiques, destacant els camps i els problemes més importants. La conferència tingué un ressò extraordinari i les línies establertes per Hilbert han guiat la Matemàtica durant bona part del segle XX.

[edita] Els 23 problemes de Hilbert

1. Hipòtesi del continu. Hi ha algun nombre cardinal entre el cardinal del conjunt dels nombres naturals i el cardinal del conjunt dels nombres reals, el continu, ? El conjunt dels nombres reals és ben ordenable?
2. Consistència dels axiomes de l'aritmètica. Són consistents els axiomes de l'aritmètica? És a dir, és un sistema formal sense contradiccions internes?
3. Congruència i espai euclidi. Pot haver-hi dos tetràedres que no es puguin descomposar en tetraedres congruents, directament o amb tetraedres congruents adjunts? En altres paraules: donats dos sòlids d'igual volum, es pot "desmuntar" un d'ells en un nombre finit de peces i "enganxar" aquestes peces per formar l'altre?
4. Geometria euclídia i geometries semblants. Es poden trobar geometries on siguin vàlids quasi tots els axiomes de la geometria euclídia, però sense el postulat de les paral·leles ni cap d'equivalent i el concepte de distància sigui menys estricte? És a dir, es poden construir mètriques les línies de la qual siguin geodèsiques?
5. Grups de Lie. És realment necessari postular la diferenciabilitat de les transformacions en els grups de Lie? N'hi ha prou amb exigir només la seva continuïtat?
6. Axiomatització de la Física. Es pot axiomatitzar tota la Física?
7. Nombres trascendents. En general, és α^β trascendent, essent α algebraic i β irracional?
8. La hipòtesi de Riemann. És certa la hipòtesi de Riemann?
9. Llei de reciprocitat. Es pot generalitzar la llei de reciprocitat quadràtica de la teoria de nombres per a potències arbitràries?
10. Equacions diofàntiques. Existeix un algoritme general per a la solució de les equacions diofàntiques?
11. Formes quadràtiques. Es poden ampliar els resultats obtinguts per a formes quadràtiques per a un cas arbitrari?
12. Camps abelians. Es pot ampliar el teorema de Kronecker-Weber sobre camps abelians a camps algebraics arbitraris?
13. Funcions de vàries variables. Hi ha funcions de tres variables que no es puguin escriure com a funcions de dues variables? Més concretament, es pot solucionar l'equació general de grau 7 amb funcions de dues variables?
14. Teoria d'invariants. És finit el sistema d'invariants?
15. Càlcul enumeratiu de Schubert. Es pot donar una teoria rigorosa de la geometria enumerativa de Schubert?
16. Topologia de corbes i cicles límit. Es pot desenvolupar una teoria general de la topologia de corbes i superfícies algebraiques?
17. Funcions positives. És possible representar funcions com a suma de quadrats?
18. Poliedres congruents. És possible omplir diferents tipus d'espais amb poliedres congruents?
19. Problema de Dirichlet. Com pot ser que certes equacions en derivades parcials tinguin com a solucions funcions de vàries variables amb un "millor comportament"?
20. Condicions de contorn. Es poden solucionar problemes arbitraris amb condicions de contorn genèriques?
21. Problema de Riemann-Hilbert. Es poden solucionar equacions diferencials donat un cert grup monodròmic?
22. Uniformització. Es pot parametritzar qualsevol corba algebraica?
23. Càlcul variacional. Generalització del càlcul de variacions, nous mètodes.

De tots aquests problemes, segueixen sense tenir resposta definitiva el 8 i el 18, mentre que el 4, l'11 i el 16 tenen respostes parcials. La resta de problemes s'han completat, ja sigui afirmativament o negativament.

[edita] Enllaços i referències

• J. Gray, El reto de Hilbert (Crítica, Barcelona, 2000). Introducció divulgativa als problemes de Hilbert.
• Text original de la conferència de Hilbert. (alemany)
• Text anglès de la conferència de Hilbert. (anglès)