Funció de Mertens
De Viquipèdia
La funció de Mertens es defineix com
on μ(k) és la funció de Möbius. És a dir, és la suma acumulativa dels n primers valors de la funció de Möbius. Com els valors de la funció de Möbius són sempre -1, 0 o 1, està clar que la funció de Mertens creix lentament i no existeix cap x tal que M(x) > x. La conjectura de Mertens és més restrictiva, i afirma que no existeix cap x tal que |M(x)| sigui superior a l'arrel quadrada de x. Aquesta conjectura fou negada el 1985. Nogensmenys, la hipòtesi de Riemann, és equivalent a una versió més feble de la conjectura:
La funció de Mertens és molt útil en teoria de nombres i té una relació molt directa amb la funció zeta de Riemann (i amb la localització de les seves arrels no trivials):
A continuació presentem alguns valors de la funció de Mertens
| n | M(n) |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 0 |
| 3 | –1 |
| 4 | –1 |
| 10 | –1 |
| 1.000 | 2 |
| 2.000 | 5 |
| 9.000 | 1 |
| 10.000 | –23 |
| 106 | 212 |
| 107 | 1.037 |
