Espai projectiu
De Viquipèdia
S'entén per espai projectiu sobre un espai vectorial sobre un cos qualsevol, a la parella formada pel conjunt i una relació de dependència lineal projectiva.
[edita] Primera aproximació:
Sigui una recta qualsevol del pla, i sigui un punt qualsevol del pla que no sigui de la recta .
Si es considera el conjunt de totes les rectes del pla que passen pel punt , cada una d'aquestes rectes, excepte la recta que és paral·lela a , talla a la recta en un punt.
Només cal associar la direcció de la recta al punt impropi de l'infinit de la recta, per haver definit un aplicació bijectiva entre els punts de i el conjunt de totes les direccions del pla , diferent de la nul·la.
Això es pot introduir de la següent forma: Sigui el conjunt de tots els vectors lliures, no nuls, del pla. En aquest conjunt es pot definir una relació d'equivalència de forma que: .
I finalment, es defineix , o sigui l'espai projectiu és el conjunt quocient de la relació d'equivalència que s'ha introduït.
[edita] Segona aproximació:
Així com per tal d'introduir , s'ha hagut de partir del pla, un espai vectorial de dimensió dos, per tal d'introduir , s'haurà de definir una relació d'equivalència en
En aquest cas s'ha de partir d'un pla , i un punt , tal que , i introduint la mateixa relació d'equivalència , on
Per arribar finalment a .
En aquest espai, tota recta , és una varietat lineal del pla. Aleshores, tots els vectors de totes les classes d'equivalència que tenen punts de , formaran una varietat, ja que estaran sobre el pla engendrat per la recta i pel punt . Així doncs, es pot considerar que aquesta recta introdueix a l'espai projectiu , com una varietat de .
[edita] Generalització de l'espai projectiu
Sigui , un espai vectorial de dimensió sobre un cos . Es defineix la relació d'equivalència en tal que .
Així doncs, generalitzant els conceptes anteriors, es pot escriure: .
Si , un punt es diu que depèn linealment (projectivament) de si:
amb i
Cal observar que aquesta definició de dependència lineal projectiva no depèn dels elegits.
Doncs bé, , junt amb aquesta dependència lineal projectiva se l'anomena espai projectiu sobre .