Правилен многоъгълник

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Правилен многоъгълник се нарича прост многоъгълник (многоъгълник, който не се пресича никъде), който е равностранен и равноъгълен (с равни по дължина страни) и ъгли). Най-простите правилни многоъгълници са равностранният триъгълник и квадратът.

За всеки брой на страните n, правилните n-ъгълници са еднакви.

Примери:

двустранен правилен многоъгълник — изроден, двулинейна отсечка;
равностранен триъгълник;
квадрат;
правилен петоъгълник;
правилен шестоъгълник;
правилен осмоъгълник;
правилен десетоъгълник;
правилен дванадесетоъгълник.

[редактиране] Свойства

Вътрешните ъгли на един правилен n-ъгълник са $(1-2/n)\times 180$ (или също $(n-2)\times 180/n$ ) градуса.

Също, вътрешните ъгли на един правилен n-ъгълник са (n−2)π/n радиана (или (n−2)/(2π) оборота).

Всички върхове на един правилен многоъгълник лежат на една окръжност, т.е. те са конциклични точки, т.е. всеки правилен многоъгълник може да се впише в дадена описваща окръжност.

Един правилен n-ъгълник може да се построи с линия и пергел тогава и само тогава, когато нечетните прости множители, на които се разлага n, са различни прости числа на Ферма. Вижте построим многоъгълник.

За n>2 броят диагонали e $n\frac{(n-3)}{2}$ , i.e. 0, 2, 5, 9, ... Те разделят полигона на 1, 4, 11, 24, ... части.

[редактиране] Лице

Апотема на шестоъгълник

Лицето на правилен n-ъгълник е

$A=\frac{nt^2}{4\tan(\pi/n)}$

където t е дължината на една страна или половината от обиколката, умножена по дължината на апотемата (отсечката, спусната от центъра на многоъгълника към една страна, перпендикулярна на тази страна):

За t=1 имаме

${\frac{n}{4}} \cot(\pi/n)$

със следните стойности:

2	0	0,000
3	$\frac{\sqrt{3}}{4}$	0,433
4	1	1,000
5	$\frac {1}{4} \sqrt{25+10\sqrt{5}}$	1,720
6	$\frac{3 \sqrt{3}}{2}$	2,598
7		3,634
8	$2 + 2 \sqrt{2}$	4,828
9		6,182
10	$\frac{5}{2} \sqrt{5+2\sqrt{5}}$	7,694
11		9,366
12	$6+3\sqrt{3}$	11,196
13		13,186
14		15,335
15		17,642
16		20,109
17		22,735
18		25,521
19		28,465
20		31,569
100		795,513
1000		79577,210
10000		7957746,893

Разликата между лицата на многоъгълниците и това на окръжностите със същата обиколка са равни на 0,26 (приблизително), а за n<8 — малко повече (разликите намаляват, клонейки с нарастването на n към π/12).

[редактиране] Симетрия

Групата на симетрия на един правилен n-ъгълник е диедрална група D_n (от ред 2n): D₂, D₃, D₄,... Тя се състои от ротациите в C_n (има ротационна симетрия от n ред), плюс рефлекционна симетрия по n оси, които минават през центъра. Ако n е четно, то половината от тези оси минават през два срещуположни върха, а другата половина — през средата на противолежащата страна.