Многообразие

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Върху сфера, сумата на ъглите на един триъгълник не е равна на 180°. Сферата не е евклидово пространство. Локално, обаче, законите от евклидовата геометрия са добри приближения. Сумата от ъглите на малък триъгълник върху повърхността на земята е много близка до 180°. Сферата може да се представи като съвкупност от двумерни карти, следователно сферата е многообразие.

В математиката, многообразие е пространство ,което "отблизо" прилича на пространствата описани в евклидовата геометрия, но което глобално може да има много по-сложна структура. (Евклидовите пространства, обаче, също са многообразия.) Важно при разглеждане на многообразията е понятието размерност. Например, правата е едномерно, а равнината - двумерно многообразие.

В едномерните многообразия всяка точка има околност, която прилича на отсечка. Примери за едномерни многообразия са правата, окръжността, или двойка окръжности. В двумерните многообразия околността на всяка точка прилича на [кръг]]. Пример за такива са равнината, повърхността на сферата, повърхността на тора. Размерността може и да е по-голяма, например пространство-времето в общата теория на относителността е четиримерно многообразие.

Многообразията са важни обекти в математиката и физиката защото позволяват сложни пространства да се изразяват и изследват използвайки по-добре изучените свойства на свойствата на по-прости пространства.

Често се дефинират допълнителни структури върху многообразия. Примери за многообразия с допълнителна структура са диференцируемите многообразия, върху които може да се използва диференциално и интегрално смятане, римановите многообразия върху които могат да се дефинират понятията дължина и ъгъл, симплектичните многообразия които служат за фазови пространства в класическата механика, и четиримерните псевдориманови многообразия които моделират пространство-времето в общата теория на относителността.

[редактиране] Мотивационен пример: окръжност

Фигура 1: Всяка от четирите карти изобразява част от окръжността в отворен интервал, като заедно покриват цялата окръжност.

Окръжността е най-простия пример за топологично многообразие след евклидовото пространство. Нека е зададена окръжност с радиус 1 и център съвпадащ с центъра на координатната система. Ако x и y са координатите на точките от окръжността, то за тях ще е изпълнено x² + y² = 1.

Локално, окръжността прилича на права линия, която е едномерна. Иначе казано локално е нужна само една координата за описание на точките от окръжността. Например, точките от горната част на окръжността, за които y-координатата е положителна (жълтата част във Фигура 1), могат да се опишат чрез x-координатата си. Тоест е зададена непрекъсната биекция χ_top, която изобразява жълтата част от окръжността в отворения интервал (−1, 1) чрез проекция по първата координата

$\chi_{\mathrm{top}}(x,y) = x. \,$

Такава функция се нарича карта. Аналогично могат да се дефинират карти за долната (червена), лявата (синя), и дясната (зелена) части на окръжността. Заедно тези части покриват цялата окръжност, а четирите карти образуват атлас на многообразието.

Горната и дясната карта се препокриват: тяхното сечение представлява четвъртината от окръжността за която x- и y-координатите са едновременно положителни. Двете карти χ_top и χ_right изобразяват тази част биективно в интервала (0, 1). Следователно може да се конструира функция T от (0, 1) в себе си, която първо обръща жълтата карта и изпраща точката в окръжността, и след това прослвдява зелената карта и се връща пак в интервала:

$T(a) = \chi_{\mathrm{right}}\left(\chi_{\mathrm{top}}^{-1}(a)\right) = \chi_{\mathrm{right}}\left(a, \sqrt{1-a^2}\right) = \sqrt{1-a^2}.$

Такава функция се нарича функция на прехода.

Фигура 2: Карта на окръжността която напълно я покрива без една точка.

Горната, долната, лявата и дясната карти показват, че окръжността е многообразие, но те не образуват единствения възможен атлас. Картите не е нужно да бъдат геометрични проекции, и броят им е въпрос на избор. Например могат да се изберат следните карти

$\chi_{\mathrm{minus}}(x,y) = s = {y\over{1+x}}$

$\chi_{\mathrm{plus}}(x,y) = t = {y\over{1-x}}.$

Тук s е ъгловия коефициент на правата минаваща през произволна точка с координати (x,y) и фиксираната точка (−1,0); t е аналогичното изображение с фиксирана точка (+1,0). Обратното изображение от s в (x,y) се дава чрез

$x = {{1-s^2}\over{1+s^2}},\qquad y = {{2s}\over{1+s^2}};$

Лесно може да се провери, че x²+y² = 1 за всички стойности на s. Тези две карти дават друг атлас на кръга, за който

$t = {1\over s}.$

Нито една от двете карти не покрива цялата окръжност: s изпуска точката (−1,0), а t - (+1,0). Може да се покаже, че не е възможно една единствена карта да покрива цялата окръжност откъдето се вижда, че дори и простите примери се нуждаят от гъвкавостта която дават на многообразията и многото карти.

Фигура 3: Четири многообразия, образувани от алгебрични криви: ■ окръжности, ■ парабола, ■ хипербола, ■ кубика.

Многообразията не е нужно да са свързани (състоящи се от едно парче): двойка отделни окръжности също е топологично многообразие. Не е и нужно те да са затворени: отсечка без краищата си е многообразие. Многообразията не е нужно да са ограничени: параболата е пример за неограничено многообразие. Други примери са хиперболата и множеството от точките, които са решение на кубичното уравнение y² - x³ + x = 0, което не е нито свързано, нито затворено, нито ограничено.

Обаче примери като две допиращи се окъжности, които образуват 8 не са многообразия, защото не може да се конструира задоволителна карта изпращаща околност на общата точка в отворен интервал.

Oт гледна точка на диференциалното смятане, функцията на прехода T е функция между два отворени интервала, която е диференцируема. Същото е вярно и за другите функции на прехода в атласа. Следователно с този атлас, окръжността се превръща в диференцируемо многообразие. Всъщност тя е още гладко и аналитично.

Окръжността също притежава свойства, които позволяват тя да се разглежда като по-особен тип многообразие. По нея могат да се мерят растояния между точки: дължината на дъгата между две точки. Следователно тя е и риманово многообразие.

[редактиране] Математическа дефиниция

n-мерно многообразие е топологично пространство всяка точка на което има околност, хомеоморфна на n-мерно кълбо:

$\mathbf{B}^n = \{ (x_1, x_2, ..., x_n) | x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 < 1 \}.$

Има много различни видове многообразия. Най-простите са топологичните многообразия, които локално изглеждат като евклидови пространства. Всъщност горната дефиниция е дефиниция точно на понятието топологично многообразие. Други типове многообразия имат допълнителна структура.