零阶逻辑

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零阶逻辑是在与布尔函数、一元谓词逻辑、命题演算或句子逻辑有关主题的从业人员中流行的术语。使用这个术语的好处是它确立了更高的抽象层次，在其中上述这些主题之间的很无关紧要的区别可以在这个中肯的同构下被包容。

向着最初的方向，表 1 列出了具体类型 X × Y → B 和抽象类型 B × B → B 的十六个函数在零阶逻辑的不同语言中的等价表达。

**表 1. 在两个变量上的命题形式**
L₁	L₂	L₃	L₄	L₅	L₆
	x :	1 1 0 0
	y :	1 0 1 0
f₀	f₀₀₀₀	0 0 0 0	( )	假	0
f₁	f₀₀₀₁	0 0 0 1	(x)(y)	非 x 且非 y	¬x ∧ ¬y
f₂	f₀₀₁₀	0 0 1 0	(x) y	y 且非 x	¬x ∧ y
f₃	f₀₀₁₁	0 0 1 1	(x)	非 x	¬x
f₄	f₀₁₀₀	0 1 0 0	x (y)	x 且非 y	x ∧ ¬y
f₅	f₀₁₀₁	0 1 0 1	(y)	非 y	¬y
f₆	f₀₁₁₀	0 1 1 0	(x, y)	x 不等于 y	x ≠ y
f₇	f₀₁₁₁	0 1 1 1	(x y)	不 x 且 y	¬x ∨ ¬y
f₈	f₁₀₀₀	1 0 0 0	x y	x 且 y	x ∧ y
f₉	f₁₀₀₁	1 0 0 1	((x, y))	x 等于 y	x = y
f₁₀	f₁₀₁₀	1 0 1 0	y	y	y
f₁₁	f₁₀₁₁	1 0 1 1	(x (y))	非 x 若非 y	x → y
f₁₂	f₁₁₀₀	1 1 0 0	x	x	x
f₁₃	f₁₁₀₁	1 1 0 1	((x) y)	非 y 若非 x	x ← y
f₁₄	f₁₁₁₀	1 1 1 0	((x)(y))	x 或 y	x ∨ y
f₁₅	f₁₁₁₁	1 1 1 1	(( ))	真	1

[编辑] 六种语言

对十六个布尔函数的六种语言按如下次序方便的描述:

语言 L₃ 描述每个布尔函数 f : B² → B，通过四个布尔值的序列 (f(1,1), f(1,0), f(0,1), f(0,0)) 的方式。这样的一个序列，可能在另一个次序下，并可能带有逻辑值 F 和 T 分别替代布尔值 0 和 1，并通常显示为真值表中的一列。

语言 L₂ 以 f_i 的形式列出十六个函数，这里的索引 i 是从 L₃ 中的布尔值序列形成的位串。

语言 L₁ 符号表示布尔函数 f_i 带有同 L₂ 中的二进制索引等价的十进制索引 i。

语言 L₄ 使用逻辑连结词表达了十六个函数，通过以乘积的方式连接函数名字或命题表达式的方式，加上极小否定算子家族来表示，用下列各种符号给出几个极小否定算子:

$\begin{matrix} (\ ) & = & 0 & = & \mbox{false} \\ (x) & = & \tilde{x} & = & x' \\ (x, y) & = & \tilde{x}y \lor x\tilde{y} & = & x'y \lor xy' \\ (x, y, z) & = & \tilde{x}yz \lor x\tilde{y}z \lor xy\tilde{z} & = & x'yz \lor xy'z \lor xyz' \end{matrix}$

还要注意 $(x, y)\!$ 是同 $x + y\!$ 与 $x \ne y$ 相同的函数，并且 $(x, y)\!$ 和 $(x, y, z)\!$ 的包含析取表示可以替代为排斥析取而不影响意义，因为参与析取的项已经是分离了的。但是，函数 $(x, y, z)\!$ 和函数 $x + y + z\!$ 不是相同的东西。